Это, кстати, хороший пример, как реальность сунула своё рыло и заставила себя изучать. Математика в основном изучает собственные фантазии, а тут вдруг квантовая логика, которую никто не ждал, которая никому поначалу не нравится, но её приходится изучать.
Без действительных чисел излагать можно, но это технический вопрос. В смысле, не надо предполагать, что существует полное упорядоченное поле, можно обойтись гораздо более слабыми аксиомами, на эту тему есть довольно большая литература (reverse mathematics).